假设你初始位置在1号点，现在需要走向3号点。每一步都会等概率的从当前点选择一条出边并走向指向的点。问从1号走到3号点的期望步数是多少？
设$E_{1 \rightarrow 3}$为从1走向3的期望步数
$E_{1 \rightarrow 2} = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times (E_{1 \rightarrow 2} + 1) \Rightarrow E_{1 \rightarrow 2} = 2$
$E_{2 \rightarrow 3} = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times (E_{2 \rightarrow 3} + 1) + \frac{1}{3} \times (E_{1 \rightarrow 3} + 1)$
由期望的线性性，$E_{1 \rightarrow 3} = E_{1 \rightarrow 2} + E_{2 \rightarrow 3}$
$E_{2 \rightarrow 3} = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times (E_{2 \rightarrow 3} + 1) + \frac{1}{3} \times (E_{1 \rightarrow 2}+E_{2 \rightarrow 3} + 1) \Rightarrow E_{2 \rightarrow 3} = 5$
$E_{1 \rightarrow 3} = E_{1 \rightarrow 2} + E_{2 \rightarrow 3} = 2 + 5 = 7$
概率是有效方案数/总方案数 ，而期望是有效方案结果值之和/总方案数，由于无效方案结果值为0，也可以所有方案结果值之和/总方案数
我们设$s$为总方案数，$t$为所有方案的结果值之和。
可以将所有方案结果值拆分为k类，$t_1,t_2,\cdots,t_k$，期望就是$\frac{t_1+t_2+\cdots +t_k}{s}$
将结果值相同的分为一类，拆分为k类结果值，$x_1,x_2,\cdots,x_k$，设结果值$x_i$出现了$c_i$次，那么期望是$\frac{x_1c_1+x_2c_2+\cdots +x_kc_k}{s}$。$\frac{c_i}{s}$是结果值为$x_i$的出现的概率，记为$p_i$，期望为$\sum x_ip_i$